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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _Fw La  
WCW0|T(;s  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. HIL"e@{  
eso=X)E  
　　1、三角函数本质： j}LANpS^D1  
vNHs/,CD  
　　三角函数的本质来源于定义 NP%0Kt(  
}xa8"K=a  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 @N ')+:o  
wqw5 `CpE6  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 O.W^c)>?  
Gv=VW{&[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： r>Zudi)  
cAeop<O&  
　　推导： ZPY\5P   
MLzc~w!B0  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6Z2!{bfY\  
<Ep{S0 B4  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,9p@Jt\&  
5A'|Plm<u  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) {sn/Jfj o  
Ua82:&gI  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 NnVuvC\(F  
g-fq1*!  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） pEZ>yqcpC  
o?ulB3,  
　　[1] f/g /{-ivT  
M?H%6 PN  
　　两角和公式 0!a?{r  
8p(H^Q`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB x $Fui H  
\='\YA]  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Xsz!4S  
H2qjY|Gi  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _%{4ZemL  
O3g03H_4iD  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB {]IEM0 K  
P9Ai"  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =WJcgJ!+F  
"nJ>Z2Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xj9 8xo  
zc a5 _]=  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  YR #xE  
<Zwj6/-~[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) M|\u VsH  
b7g ?!>  
倍角公式 ;~}bQPjK  
iu`Z)iG9  
　　Sin2A=2SinA•CosA 5+1HZEud  
x^\2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 qcre#[hgI  
=:gOQCmjU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Q:;q8cn9l  
l1K/^_twy  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #hr4o {B  
.J8 fCr  
三倍角公式 [`a  
o?Q\qT&L  
　　 >@3.,A&j  
s96ArK[b  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >|;:&<-@CD  
(DT"\b"  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) TgjGA#@  
4~oYmb  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) y:*v+J]L  
!]?z^#?\y  
三倍角公式推导 vf*.S\W*2  
, J3={6j=  
　　sin3a nFPM9elhN  
A<e7+#8p|  
　　=sin(2a+a) +c{(a= \1,  
<Woj29{  
　　=sin2acosa+cos2asina LMjwDM-  
4Hk^IXhn*  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Cq38 zr \  
u@6QrxQ  
　　=3sina-4sin³a BxT n+kn=  
Ghzh)b2  
　　cos3a 36J4bXf  
<ouvWS/  
　　=cos(2a+a) `wV#q"MO}  
l"fPkp  
　　=cos2acosa-sin2asina w]Qr!x,=1  
f`J"DR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa MT>Nn*b/  
2C#L{"Aa  
　　=4cos³a-3cosa e$FqBg}A  
w Er2:X  
　　sin3a=3sina-4sin³a oBW}xb9  
aR(dRsn  
　　=4sina(3/4-sin²a) f'b;VY g  
v%9h+O>0x  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,8Q}^ "  
'J|C<Ls\  
　　=4sina(sin²60°-sin²a)  sQbo(qT  
s~l 7  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) A 7YQ  
l4T/xSOYU  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }# pH[yx  
/ %odC]z;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n [_n,(  
U(/JXS 5d  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &MJ?5.4W  
B}2lX,U  
　　=4cosa(cos²a-3/4) &$,}a]R  
I'e `e _R  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 8M@GJ B  
AqX`j@We  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) )tZGK*h) Q  
;Q&A^Kh4  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) !?~Nfo,+~  
+(RXfQk+0  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} wC4Rqk}t  
-> (aQ1U  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]; .\u  
_!F`#!#  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 3C3?:IC.  
UUnPX(  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -fGa.;Z  
(6g }gv  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) = JazQsxZ  
g\,KPQE.  
　　上述两式相比可得 &02Q=^WZ  
8 dZrnBo  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )"Y`? ay,  
Fs?|$|  
半角公式 F+Cf!$z \L  
z+KDG 7  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); pp,Fw  
J4]V9vM%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {Z=E|>%  
%3|&u1_I  
和差化积 #IXK6w4a}  
9pLWnmIi-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u.  'IE  
\sSWXEs  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tJYo [  
\ED=J<  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JNkz`BrT  
^"m'Gb)9s1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] lwF$ripP,  
>#JM]kqh  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) AjGGm{6  
Rf8tk]*U  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 2LLK! TsL  
ZqW!Dy%:&  
积化和差 '#3V  
X;xC b2Qw  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 6b8BTn:  
I0 ? _gZ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 1#W$S?%F  
{lrWC"Fl  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X2L K6CV  
Uy$?Q5rQ  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] TKk?wxbY^G  
_ "s 8  
诱导公式 buOzeu)  
7| ]G9_E  
　　sin(-α) = -sinα PDF-Yz&g  
vB^tA?  
　　cos(-α) = cosα :Kv:$vHN:  
3hM3[~ue  
　　sin(π/2-α) = cosα "7Jv!!  
Y)rv_ze_  
　　cos(π/2-α) = sinα qE/gL tJA  
:9O:[Y  
　　sin(π/2+α) = cosα {F2?S'B!  
a'>-  
　　cos(π/2+α) = -sinα {9Ew^>3  
-DKgxM  
　　sin(π-α) = sinα \yN? BTR  
4SCo6 |b  
　　cos(π-α) = -cosα R! jR)  
by A!="q  
　　sin(π+α) = -sinα ,.Hr4a@te  
,tzmf)"w  
　　cos(π+α) = -cosα WO#+*&4  
_NvF^=MS1  
　　tanA= sinA/cosA ??2<C W  
Rw a6`x@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =CTb^xr  
gh r*7Eq&F  
　　tan（π/2－α）＝cotα {N AA=t  
d6:@! MB  
　　tan（π－α）＝－tanα .@ItI?qW<  
c6*D[^  
　　tan（π＋α）＝tanα + VY{|Jx  
O^$VWH  
万能公式 bBUNC2  
\%L~W%pa!  
　　 T3ahk Ok  
:r9Nn_8  
其它公式 }M(65uwe>  
~+fcjrA  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 z4;u{6K]  
>G=YzQHq  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 fG'4Ts:="  
$|qU__I ?  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 z)-f*{m  
t'Y]a8wa  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4}"  
&Ay0AISj8  
　　对于任意非直角三角形,总有 hS,*UO]cHf  
hA7WfPk  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KYVc?BUM  
BIIfj0  
　　证: ^Lx8(b~  
lDJg&-g%vc  
　　A+B=π-C +"Q'!hd  
5 ;dlq>  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 54.4BglK  
#0F2_p  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _k+dvZOTP  
p!H _D1`  
　　整理可得 )NQt<sa{  
39bn[m; T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /fZ; Nde  
7*N95@7  
　　得证 uM.Cr4f  
~W+\F3M!Ud  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !! 2W HW~S  
s'A~_n&9p  
其他非重点三角函数 6Je\z_K+  
}sbnaq4(  
　　csc(a) = 1/sin(a) %0"CI6#A  
8GTJ   
　　sec(a) = 1/cos(a) S8!>SgNPQ  
e{|!s  
　　 $MS}= L  
Flw6kP!B  
双曲函数 Wq>&@4{Tu  
DRQ?!]u.  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D<! $G%_  
L;,{Bf{h  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 K/Gra_|^l  
o~\l  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) @^$w$oZ"N  
S4,{3[0  
　　公式一： bTFl7I  
(sSUSlH  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 3a \U! d  
[)O" Ku  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Q@?][Axh  
v(~_KjWe  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8]tEp(9T  
`B7D^i  
　　tan（kπ＋α）= tanα  y%;-PD  
0Tk{"bK_^>  
　　cot（kπ＋α）= cotα Igr40? 2  
[eDO>?d>  
　　公式二： GK# 7r{  
W.)53 c2*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： U7Y0gQ  
i7ck 62  
　　sin（π＋α）= -sinα "Vk?;76  
<BUC,M79n  
　　cos（π＋α）= -cosα ':dAj(o:U+  
cB? 4Fk  
　　tan（π＋α）= tanα }jZH+}1A*  
8c`zv)  
　　cot（π＋α）= cotα ^H7%m  
:2@Mf5&>  
　　公式三： sN.kpUt[  
B,fDxu  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： q5k Mw  
Itk@%}G  
　　sin（-α）= -sinα !mZJ]bFL  
. S"S+WYq  
　　cos（-α）= cosα Wpd'Z4tY  
9 ZSv [8  
　　tan（-α）= -tanα s jO[_7V  
o ~W`nr  
　　cot（-α）= -cotα kL TV V]  
8~fB5(  
　　公式四： N]J3d3P!  
3b&.?}SGU  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： t3fJ ABInn  
ZF% #>  
　　sin（π-α）= sinα ^\=@Tcvs  
SOz8_>F  
　　cos（π-α）= -cosα j[OYm"h)  
F7|"c5$r  
　　tan（π-α）= -tanα d=>f3MGu  
ACl~9_ i  
　　cot（π-α）= -cotα }3'q< b[*  
*2D9"u]"(  
　　公式五： k# cM,\R  
Pe!X)  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T{7# E2  
4|)I7+ p  
　　sin（2π-α）= -sinα &kf+V u  
q0X1) .y i  
　　cos（2π-α）= cosα z _y>  
k^Ve]}/E  
　　tan（2π-α）= -tanα -7K~C|+7K  
[:!o$1  
　　cot（2π-α）= -cotα d3}_esh9T  
%?*LBCO*kl  
　　公式六： 1s:LxcJ9*  
U3lGRuj9  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )qJ4~z]  
<qRtyp@  
　　sin（π/2+α）= cosα K>*KLoO@  
IyxpT]Tv  
　　cos（π/2+α）= -sinα W DA-}l  
? Iuff  
　　tan（π/2+α）= -cotα *EJ-Sfo?}  
%Mi99NO  
　　cot（π/2+α）= -tanα <%QM 9HU7  
-&oT:OS+  
　　sin（π/2-α）= cosα N*KlP^@'  
GvU<z:  
　　cos（π/2-α）= sinα 3{XAn(=  
05lc<B?)@  
　　tan（π/2-α）= cotα .lcs d|5  
,LX%),(  
　　cot（π/2-α）= tanα "Zw}/#:=  
<=p$'x\o@-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα JSC0 /VKw-  
7&t9d+3G  
　　cos（3π/2+α）= sinα rs$&1"8lf*  
- mn4"c`G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα =1?ph|u8  
9CzWI)||  
　　cot（3π/2+α）= -tanα IpP+AJ  
30 h+L  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 1}h[Q  
}peQk[u  
　　cos（3π/2-α）= -sinα NC9}=~  
?,*H@>7  
　　tan（3π/2-α）= cotα J#@Rm`U'2{  
)qwEf3h  
　　cot（3π/2-α）= tanα vA-4lGr\  
4OLN&')#  
　　(以上k∈Z) nIjyQ\'$  
~F7B.]-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 `QlK,  
G#$PvMB0i  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Z!NP+@  
T|J:kb8pE  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } F(KW8#~  
}pyup >CQ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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