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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 G.vCa-V?}  
*g(xI 8X  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. };`*=jTX  
[H';4  
　　1、三角函数本质： [s1G*x&  
"E4 ,  
　　三角函数的本质来源于定义 b k]B'f   
}RrVxtA:'|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &jO* <2E,  
$y`F><tD  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 V5<Lz3;8  
<W8zUXq  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： @9ooisZl  
G] X&E  
　　推导： 3/YzG8  
8aS|h!wI  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 # (!D'  
Rg(v<PtW  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 5Z}qtOpB  
>Offx-fi?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) MQH?x6bI  
]n^<[o0GG%  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 J ;BKo  
3g2o 4"4x  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） oRLh&wDE+  
63k;at  
　　[1] g\BmuuMmN  
Z4<2^,xG  
　　两角和公式 qHsvq  
shdyo%G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O`J,o0O{'  
rOhF9i  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  8XgU\`*F  
)nr G2;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Z-& 8mKI  
[zjs7Vz"  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zCs]jP.Y  
- ,|-(c#7  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) AFjN=u,@=  
7bx^xuh*Y&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C55d] ?!;  
,bsQVl3m  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  |:I,-3(2  
H-*$8Vy  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Y}+  QG  
ZAb/!R]P  
倍角公式 1S^3&5(  
fa7 W1fr  
　　Sin2A=2SinA•CosA ETa)9$s  
tT]x&_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,-fu @Dw  
~ TCV>3z.h  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） l,.ft0!  
4!#:IA7fu  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） }tlRhJW-7  
]~^{dQ.fS  
三倍角公式 G_$ O c}V]  
V79G{AUbn  
　　 jZ!Gq&x  
<Zx>&"  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "+D;.)>  
LFdg=,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) u',WO6   
0qG@ 7Q  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /A1"@K&3  
xs $M [(  
三倍角公式推导 &DOzz1@  
=MdVqS<p  
　　sin3a x..fs~h  
("<{9z*C  
　　=sin(2a+a) I:?}yw SF  
8zd%P_W  
　　=sin2acosa+cos2asina VCJ<;Ex -  
*n{U:2|_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina j,|48xX?  
eVnM[&8  
　　=3sina-4sin³a ey5%zzO|  
>i;'9]  
　　cos3a 8HdL*/  
FH<NmtHt`  
　　=cos(2a+a) Z36Q+s  
#F(zr,De0  
　　=cos2acosa-sin2asina >\~Sz)rS{  
pZL-[i+li  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ek\ %Vs)  
|FHA*I  
　　=4cos³a-3cosa 6F(=HzT  
f}P<>AM!x  
　　sin3a=3sina-4sin³a fw'AMxyS  
}7NSGN"  
　　=4sina(3/4-sin²a) !:,XFK  
tZ`>p<'[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @`3As6  
}rDo}I?Ky  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ?C* psz  
wUDbn,jH  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) o[.1&TGB  
m^imo:R=  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] KUu<O  
LPLHz.Z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) BZ5-3^_`  
GTI/: J  
　　cos3a=4cos³a-3cosa fAwgj  
&SQ; /Do  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _xH| \!  
j$}V {  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )g_pE*h%:  
L *,]]D  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) '`YzZ`}:  
ScU!/:#l  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Sv4`6%nN  
>_Z(Afy  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ":/!/bKOE  
K AVDV;kS  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) MJ 9,`/  
_v; F  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 3gl5=E43  
)bYL2is  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q3p B Y  
Sxw~& U2  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) @r]NXh D  
3?_[}PPj  
　　上述两式相比可得 d&&DyGR  
J]P)^*D  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -DuYt!/N  
?+{Tro  
半角公式 Z+Hs#v,  
Vv4#=c   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); o t^?Rb  
~@A}A4:(.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. I -CD7hgz  
xwCB   
和差化积 W^+iar  
uUM@u-  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "6T|g{+  
y`)hI 9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #mW`lku|  
_'8>H h0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9G`+L&,Yi  
dZkG$=T  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Y|1Jz__xD  
cKvjeR0  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^X"pvYtn  
dx[M|wEA7  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %s ^xd$K  
}^#CF6Y  
积化和差 ^;!K "Y  
,W] e0g  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9DIl 4|F  
{d7)`(I  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M_JX`1e2  
qW,6uY.f  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] *9YUmfI{5  
,N@Reha1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "~H86LDGC  
Qm?w%zCx  
诱导公式 4D>?u(k  
^ `R:\(  
　　sin(-α) = -sinα 9T  
=L}1*!p  
　　cos(-α) = cosα >3%%aB_  
XUL<C._  
　　sin(π/2-α) = cosα z*{1*yA  
$:@')#  
　　cos(π/2-α) = sinα &E$&hd   
Q>Nki,  
　　sin(π/2+α) = cosα :%X+}:AHS  
kUqoW"   
　　cos(π/2+α) = -sinα M Q<3lZ  
\g<Qu5  
　　sin(π-α) = sinα E0GN'e5  
<E< HdK3  
　　cos(π-α) = -cosα yutH yp*  
.A73iG  
　　sin(π+α) = -sinα V0@_:H/q?  
5e^40b'  
　　cos(π+α) = -cosα zd:^lb3.Y  
c vt~XwM{  
　　tanA= sinA/cosA N,ln)1[b1  
-!?s/'sU  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα @<dY;n  
|1BZph7<  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1-'VE%  
'xGoo:b  
　　tan（π－α）＝－tanα rrwvq |  
ArvC#e%zv  
　　tan（π＋α）＝tanα  ~xK* ~  
$@=%_;S]  
万能公式 Ar AFp  
wVv1s\\5t  
　　 H>R5&/ eX  
dR3!3UZ**  
其它公式 |kYG3_F=  
w^u}LrmM[  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 iV*820#  
wnz;o@}9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 US=ej+~!  
5JcjZ%w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 C!" JlY+  
#n'E`3vM  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 AP.?cSp  
t&"'%8Mc  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^SC"J<+  
I7,>M?BG )  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC O@LgT<=  
,g~u!M6  
　　证: m&Ieuo'  
X$LuI0  
　　A+B=π-C <>c-|P ;  
SpU/k!?  
　　tan(A+B)=tan(π-C) N?Ug\3  
B7ESHN-:24  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) #8gk]WKw  
rw Z-a2  
　　整理可得 =,w6_k)  
H<c|z2%V&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC HL%qq(*w  
tnVYmxC&  
　　得证 Yr<\Ea~q/H  
TdeJ?^6es  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2=)}YPU  
189B n06)  
其他非重点三角函数 9q?Hjw p  
.IU B-`fqt  
　　csc(a) = 1/sin(a) ( 1rlfK  
8{2=qC  
　　sec(a) = 1/cos(a) n QrYi%)  
X g]`X7N  
　　 Y>Y*10$Q*  
'X'(Poq  
双曲函数 a9> sn*)  
[l6G /U_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4pyUKvwtS&  
/.$Y}[JD  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 oot-Sg  
>SQnIDj_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) @|=6Fa  
{D`4jm0WSB  
　　公式一： T?jjN#G*q  
"PC,;P7DF  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： W \o`D;(  
~ vxr8h  
　　sin（2kπ＋α）= sinα l'@3 @C  
?1] }pg  
　　cos（2kπ＋α）= cosα !FlE"V9FK-  
0D( q#\  
　　tan（kπ＋α）= tanα ,P "{?QD  
D1,mXuC:  
　　cot（kπ＋α）= cotα g9&*l  
^U_7:)H^F  
　　公式二： KVHM :  
s@_tST28|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +_O_%Gbf  
BQNpqT}  
　　sin（π＋α）= -sinα ,%D'h*Dw  
` EB}*3_  
　　cos（π＋α）= -cosα G:v>iB(Z  
Qg;d(d  
　　tan（π＋α）= tanα 6a}[M3gFM  
7$0J"*QNtW  
　　cot（π＋α）= cotα s* P'h!jL  
lEo y/  
　　公式三： Oi:xSV  
5x~40sF?V  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 98G&n d.  
'$!Iy  
　　sin（-α）= -sinα |Azd8z/"  
WF7 U\P  
　　cos（-α）= cosα gxt+6r:l  
uXN Bu~EZ  
　　tan（-α）= -tanα ZW[]8u  
{|WAs{4v  
　　cot（-α）= -cotα z8Pq_euRR  
@6)\KrR  
　　公式四： qyh:(3  
R8Nj$,&  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： i0B4f;Gmf  
h2-:3z}F  
　　sin（π-α）= sinα I_InSB  
muPT R+t  
　　cos（π-α）= -cosα :#)[V HU  
+^iz5L).V  
　　tan（π-α）= -tanα ;jCc|l4  
]*;:c [:7  
　　cot（π-α）= -cotα E$B ]  
(3zZ:&  
　　公式五： )qHhxK  
%_gTj2[Q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ,ej}@_Mqq  
y9FuE2Y  
　　sin（2π-α）= -sinα XiPJ/4  
Iun]*Iu  
　　cos（2π-α）= cosα ~{S W  
{4R\^+Q  
　　tan（2π-α）= -tanα 0Ot4K1KNH  
~]BAdQTi  
　　cot（2π-α）= -cotα t|)DKlid  
Z?rd' 7~  
　　公式六： -@ZkHVe  
q ZZ4D  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： fWS`LOP  
K%sZ1:&I,  
　　sin（π/2+α）= cosα 6.%;^)` -  
rf3odE   
　　cos（π/2+α）= -sinα 5*22[  
(lA32Z&M  
　　tan（π/2+α）= -cotα hp:[Ly@hb  
CVgYIv5M}  
　　cot（π/2+α）= -tanα }DY`H/q'  
 Uh&V1_mP  
　　sin（π/2-α）= cosα >zb}ifCq  
M\Fs)*  
　　cos（π/2-α）= sinα Y/`=^~XxK  
p,~+  
　　tan（π/2-α）= cotα $(*M-}0.  
Hwl5s;x\  
　　cot（π/2-α）= tanα ?*4eo{Vgv,  
_N7wT"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα z8keU^!mKm  
xHM:6X$  
　　cos（3π/2+α）= sinα &@ w';U  
E"-n;sV  
　　tan（3π/2+α）= -cotα mU ^Ix>  
Z'Q|JuB1&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5iu6WYYsc]  
,~n9A@PGT  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 03oQ7 '  
PwrC3k,q  
　　cos（3π/2-α）= -sinα $ _d0%  
)`gj}$v  
　　tan（3π/2-α）= cotα q/]"0va-b)  
5'v4^n8  
　　cot（3π/2-α）= tanα l(Wi7-wyf  
$NO)3  
　　(以上k∈Z) ZwxA9G>le  
RPA\RrJ %  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^wP"g$  
as=~&S1g  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a+VGV>lY  
=#hv {go  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } sv@6xr  
?b[*HR @  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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