三角函数内容规律 KhY~ \?,b
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8OJfx8AQ
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1、三角函数本质: aXD>$
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三角函数的本质来源于定义 TCI_?oN
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sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 M>m[|n
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深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 $nkv$LMi>
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sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: **l/X
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推导: oZ-:MT
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首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 6\Q
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A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v7e3by
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OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |kNMJU0X
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∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 R{'&T"#
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和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) _LT[j<
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两角和公式 EPr](Lf
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sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
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sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 4*49Lx=J
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cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB =j084E E
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cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;{W >MP!
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tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z
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tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) kN(ARc(o(
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cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) PpX7&!1
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cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nil7C
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倍角公式 T|/U>io$H
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Sin2A=2SinA•CosA 2&>kf[}
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Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %$LhMC8~7
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tan2A=2tanA/(1-tanA^2) wiJ!8xS
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(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) <mt7?(YW
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三倍角公式 KJcpw=g
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j1)>m4L g
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (yVC\c#/b
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cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $F*bU_^5
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tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3Q2B.ibj7
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三倍角公式推导 4&vZ yU
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sin3a M^hM!QXR)
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=sin(2a+a) HxKiVA
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