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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 i\9Ic6|)  
yB+_c4Z y  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S;;{4Dg) d  
(Iln2fEZ  
  1、三角函数本质: 8J>|#Wl&-'  
nbDCF1  
  三角函数的本质来源于定义 +3bV45s%  
kp~{o%5SQ  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 []lKgh{i  
7HK )[!f+T  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 EDT<Gyw  
(;gv"y+S  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 3=.he2ya  
& aJ:Mz  
  推导:  cFB:S]Sz  
]Nw+H3:[*S  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 gd'T.k  
Y9*H ~JP  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }Hz VR6I^  
)WlV-B3as  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Zk5C5C{  
w}Lp]|ai'  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 v[#k_F,}  
h<~8 1ov  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) I.4(n4'  
{M3{;  
  [1] $E5J M K  
zC:LJ#/XF  
  两角和公式 N'{/ pLYk  
U/A[^g&  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB DFd\):"7A  
~d6N"=*M  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  vR'% g"  
N/woz4jX  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB atzzJ&  
&]kx`  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB YoMP8u  
'_5 ofdJFb  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @Y?( %;9  
bH^y7 IL^  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cT{+osZ=5;  
1_0so3J  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  D^,OZR1  
+L<vy,{}[  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {VbiJ?(?a  
hu2xI*H  
倍角公式 mVLH3]92  
HR4sE2  
  Sin2A=2SinA•CosA e4\0Bo x1  
_lkyY3@  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 rg~*>-X(_  
,_5Tr\Y  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) lF6(J8?S_  
Y/}_dm  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) `Z JU [  
7lf.8O =!H  
三倍角公式 M?ua  
QyQl{|>X V  
   F7 +h<  
j;G9J  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q_){;;v  
ZL{DC>$A  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \/d;[1FH#  
?I4Zgtwt  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) m8ArCF  
M9 ,>(yb  
三倍角公式推导 S@htU3  
{&PD's  
  sin3a ~}?]"U   
A4Gvff  
  =sin(2a+a) b l,m =  
/ii s(m  
  =sin2acosa+cos2asina TivkSago  
!!]:7)g@  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina \!3!C&<5m[  
\$E-iQ,s  
  =3sina-4sin³a  -5QwX  
F,ra0~Cd|  
  cos3a [c/.D_l^  
$b&JZM (/|  
  =cos(2a+a) R7Sh*[E2$&  
|fCN'{  
  =cos2acosa-sin2asina I!Ff(?;  
RJ(Rl  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ify%  
4:%K_^c  
  =4cos³a-3cosa OAlx.1lh  
Shb 6JX  
  sin3a=3sina-4sin³a :%rK4VE  
EN(1hi  
  =4sina(3/4-sin²a) ?k>p-I#  
e2$Vltc<  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 2"P\A@??#  
S%bWh<>a  
  =4sina(sin²60°-sin²a) Fd k$;-  
3I-o[0TW  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) * ]|`s&,  
)nC$38`(  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /%e.,hi$  
Do]5Iz  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) G]}CInK  
5 .Taxr$  
  cos3a=4cos³a-3cosa  hsj+c<8  
 f 0JH ~  
  =4cosa(cos²a-3/4) M8sfv+2,\8  
*"{}mK/bG  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2`v.(8wg  
m;#Et+o  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) -uWB*w5  
{l2 G/Tb  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) kXr Q!O(|  
k"kA2F   
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YH <=_&  
')zHHM&  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) MzKyRY'  
p2i.c"7~m  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [ne7  
7ILR~y k  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] nbR6r4Se2x  
^2$JprR  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) bj]W3I-~  
PqN'X&}D  
  上述两式相比可得 u6b^SN  
f|//G7V  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z&l3LywC_+  
5Vr@Ckn.  
半角公式 $r7ON~f  
@wFe:z;  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *<(AG+  
'<`s+uGdg  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. zEi}''B  
.kN)U*l{VT  
和差化积 {PQ~1ZnQ  
g5W"95_Ak  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JWI}RQ_-  
A+x2?k(:  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x .E!*8  
aOhA#WAN  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9}zyn$\f  
!x Zd.Z"g  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #NNrJ],  
Lnj0KjJ_  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) qV~({ZPT  
,pA 8hVor;  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,< }EvDgXw  
?UEtk hK|  
积化和差 ? ]Lp@2R  
&TaW7{27%  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ' Y6[{4  
BG2[F6L  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8r>bM:BE  
^F"#H*lK  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ).,6:3/c  
N[$p_!t\;  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |*XdPbQA&  
>$S#n}O  
诱导公式 "! ,|#  
j6\^9a  
  sin(-α) = -sinα fT<!W:_a  
T<Xbg^  
  cos(-α) = cosα )J8W.{t  
qHH6  
  sin(π/2-α) = cosα " Ws.m1  
|b)t4.` -P  
  cos(π/2-α) = sinα {fe3TglOG  
& uT\]U.  
  sin(π/2+α) = cosα -}GNoA`ZP  
+mWA$)g  
  cos(π/2+α) = -sinα {E.Cd4F8g~  
32K_*O/-Xy  
  sin(π-α) = sinα gKy|sS  
`6nx  
  cos(π-α) = -cosα =1n{@-9.  
sI's3JI  
  sin(π+α) = -sinα 7Qp][Ja  
/! V88yJ  
  cos(π+α) = -cosα JUeQw%:  
@&M}F&b  
  tanA= sinA/cosA _X{P*  
cxfmO;~3  
  tan(π/2+α)=-cotα rC9U@9-eS  
R jTLpC}  
  tan(π/2-α)=cotα /w#E@-K?  
;1k_ J &  
  tan(π-α)=-tanα 76@%W.RkA  
/?@d-`  
  tan(π+α)=tanα nA{_lG  
:C,Y3e  
万能公式 B;Pd^U^LV  
rOuQnIV7  
   :w g[)g>  
WqRbNbL  
其它公式 SkdRTE0!  
w\/BWRzM  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 $/;/pPk2  
'JynO8Z7  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 4j&nZoIU  
IxK^w]!a  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 ute[c{X U>  
[DgzFdu<  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 B()(*k6^S  
C_Sm9MEaz-  
  对于任意非直角三角形,总有 k6.8 BK  
4l9b-(UbQ  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?qqaV"wF  
~Gu>RO  
  证: $ /esm  
ZA vbC2v  
  A+B=π-C yoiR';]  
_qa8zL1  
  tan(A+B)=tan(π-C) kDG*#!kl  
'$:-$OG4  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {IRH&iQ  
i\h2=HYA  
  整理可得 z;xAs.]a  
CRFdc1  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7e7`-.l|  
22PkumdG  
  得证 dm`@eH|I-  
!ZB>E,(q  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Li=!o_^ L  
:j93\<c'  
其他非重点三角函数 SMg-4g3/  
FM."~g1B  
  csc(a) = 1/sin(a) q6Q"@*  
m Mlo(  
  sec(a) = 1/cos(a) ftb 2V tJ  
J@#I>U_  
   `\9JcW TP  
8hvaa;C1@$  
双曲函数 Sltjs"?_  
Yf+4k$ dB  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 R .;rlI{  
VRyPtB,!Y  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !un$>u^f@  
7E\'\z"O  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) y mG u<Q=  
!Ndi%4}W  
  公式一: M-a L>a  
[K!JdVQr  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: <pW$fz$  
 Ndx-+  
  sin(2kπ+α)= sinα ?]t)sZN  
m9Rin4WDZ  
  cos(2kπ+α)= cosα i`>&AFdc  
d1m[93:B  
  tan(kπ+α)= tanα +N 6 }  
=A``A74,_7  
  cot(kπ+α)= cotα kJg Qcc6sJ  
TUV|.p  
  公式二: NulJ/vWfh`  
'-t6k l  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 3g>TTi6Y  
+K2Q0F?  
  sin(π+α)= -sinα IKE/ Ilo  
u7G5W).  
  cos(π+α)= -cosα $Z&a%SQ  
.(m@uD$o  
  tan(π+α)= tanα vo&ygFB  
}}~o?0_;l  
  cot(π+α)= cotα #Bcp9owq5  
PA*vj  
  公式三: R5oi|#  
*FPtYvG^~  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: \mJNr8/?  
oh=>`V{D  
  sin(-α)= -sinα 4j 2EVMW  
#YeN~SS|  
  cos(-α)= cosα Od3\M-A"  
*w6-KLc}zL  
  tan(-α)= -tanα :oro]q |>:  
|)r5P>  
  cot(-α)= -cotα 6}pdZ)pD  
2[`(B)  
  公式四: sdXO  
D29'P7M+  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: I8pVfbXVe  
Rk[-hK-  
  sin(π-α)= sinα iyAmyyF  
u6=oj1  
  cos(π-α)= -cosα `I:?=rvh  
;H-G_Ou+*  
  tan(π-α)= -tanα Op,1+ Qd  
+Kv!YZ=  
  cot(π-α)= -cotα ,,jaZi  
o[!QaMh/  
  公式五: Z6|!q\LR<5  
m?$/v5pC  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: rlZg@*li 3  
Pxp@ZVzW  
  sin(2π-α)= -sinα uR.&"3"P5  
m|IEE6-.}  
  cos(2π-α)= cosα } WqN %  
rD^LB5 $  
  tan(2π-α)= -tanα m<l17#k]  
A%b~I+~  
  cot(2π-α)= -cotα :}Q 4y)S  
,&::Kz  
  公式六: OV/D~I3^  
'&)xj" v  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: svpq[iaE  
p)A|^+  
  sin(π/2+α)= cosα Y}@3 )P&b  
N6G}y$lxg  
  cos(π/2+α)= -sinα 'HJ NGU  
O-U48h^x[1  
  tan(π/2+α)= -cotα fU0r  
)u5B47D  
  cot(π/2+α)= -tanα >-onc-Q-  
1]!*z'\M  
  sin(π/2-α)= cosα I$x(s.7O  
+,.jo7d  
  cos(π/2-α)= sinα v9?'1 '  
%H+VC3  
  tan(π/2-α)= cotα &Rlk5x[eQ#  
wvIB~=tR  
  cot(π/2-α)= tanα U` L4V  
9Qv+~MB&T  
  sin(3π/2+α)= -cosα .\o0bI(O>_  
^cl"#a  
  cos(3π/2+α)= sinα f. <E!Qe  
0C3Dna"B  
  tan(3π/2+α)= -cotα aX$p!D;3  
O\-_$I;  
  cot(3π/2+α)= -tanα e}UNwOC't  
n0m'c  
  sin(3π/2-α)= -cosα tjG&9lZ  
<_u`wM?E  
  cos(3π/2-α)= -sinα  t252gX  
i2XV.L9A%  
  tan(3π/2-α)= cotα ^/j}rqsqQ  
X8*]^Lu  
  cot(3π/2-α)= tanα #@{ApN6-  
b\|@TE  
  (以上k∈Z) }nvaTfV  
4aXN`RUE  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ja4i?aQc4u  
{'Sf2Mwn  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jTr-< W>|  
= *t/`Dr  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {QSh-  
4q#?+'(  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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