三角函数内容规律 i\9Ic6|)
yB+_c4Zy
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. S;;{4Dg)d
(Iln2fEZ
1、三角函数本质: 8J>|#Wl&-'
nbD CF1
三角函数的本质来源于定义 +3bV45s%
kp~{o%5SQ
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 []lKgh{i
7HK)[!f+T
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 EDT<Gyw
(;gv"y+S
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 3=.he2ya
&aJ :Mz
推导: cFB:S]Sz
]Nw+H3:[*S
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 gd' T.k
Y9*H ~JP
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }Hz VR6I^
)WlV-B3as
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Zk5C5C{
w}Lp]|ai'
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 v[#k_F,}
h<~81ov
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) I.4(n4'
{M3{;
[1] $E5JM
K
zC:LJ#/XF
两角和公式 N'{/pLYk
U/A[^g&
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB DFd\):"7A
~d6N"=*M
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB vR'% g"
N/woz4jX
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB atzzJ&
&]kx`
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB YoMP8u
'_5
ofdJFb
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @Y?( %;9
bH^y7 IL^
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cT{+osZ=5;
1_0so3J
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) D^,OZR1
+L<vy,{}[
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) {VbiJ?(?a
hu2xI*H
倍角公式 mVLH3]92
HR4sE2
Sin2A=2SinA•CosA e4\0Box1
_lkyY3@
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 rg~*>-X(_
,_5Tr\Y
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) lF6(J8?S_
Y/}_dm
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) `Z
JU[
7lf.8O
=!H
三倍角公式 M?ua
QyQl{|>XV
F7+h<
j;G9J
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q_){;;v
ZL{DC>$A
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \ /d;[1FH#
?I4Zgtwt
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) m8ArCF
M9 ,>(yb
三倍角公式推导 S@htU3
{&PD's
sin3a ~}?]"U
A4Gvff
=sin(2a+a) bl,m=
/iis(m
=sin2acosa+cos2asina
TivkSago
!!]:7)g@
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina \!3!C&<5m[
\$E-iQ,s
=3sina-4sin³a -5QwX
F,ra0~Cd|
cos3a [c/.D_l^
$b&JZM(/|
=cos(2a+a) R7Sh*[E2$&
|fCN'{
=cos2acosa-sin2asina I!Ff(?;
RJ(Rl
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ify%
4:%K_^c
=4cos³a-3cosa OAlx.1lh
Shb6JX
sin3a=3sina-4sin³a :%rK4VE
EN(1hi
=4sina(3/4-sin²a) ?k>p -I#
e2$Vltc<
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 2"P\A@??#
S%bWh<>a
=4sina(sin²60°-sin²a) Fd k$;-
3I-o[0TW
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) * ]|`s&,
)nC$38`(
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /%e.,hi$
Do]5Iz
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) G]}CInK
5
.Taxr$
cos3a=4cos³a-3cosa hsj+c<8
f 0JH ~
=4cosa(cos²a-3/4) M8sfv+2,\8
*"{}mK/bG
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2`v.(8wg
m;#Et+o
=4cosa(cos²a-cos²30°) -uWB* w5
{l2
G/Tb
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) kXr
Q!O(|
k"kA2F
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YH <=_&
')zHHM&
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) MzKyRY'
p2i.c"7~m
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [ ne7
7ILR~y
k
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] nbR6r4Se2x
^2$JprR
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) bj]W3I-~
PqN'X&}D
上述两式相比可得 u6b^SN
f|//G7V
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z&l3LywC_+
5Vr@Ckn.
半角公式 $r7ON~f
@wFe :z;
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *<(AG+
'<`s+uGdg
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. zEi}''B
.kN)U*l{VT
和差化积 {PQ~1ZnQ
g5W"95_Ak
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JWI}RQ_-
A+x2?k(:
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] x.E!*8
aOhA#WAN
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9}zyn$\f
!x
Zd.Z"g
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #NNrJ],
Lnj0KjJ_
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) qV~({ZPT
,pA 8hVor;
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,<
}EvDgXw
?UEtk hK|
积化和差 ?
]Lp@2R
&TaW7{27%
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] '
Y6[{4
BG2[F6L
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8r>bM:BE
^F"#H*lK
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ).,6:3/c
N[$p_!t\;
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |*XdPbQA&
>$S#n}O
诱导公式 "!,|#
j6\^ 9a
sin(-α) = -sinα fT<!W:_a
T<Xbg^
cos(-α) = cosα )J8W.{t
qHH6
sin(π/2-α) = cosα "
Ws.m1
|b)t4.`
-P
cos(π/2-α) = sinα {fe3TglOG
&uT\]U.
sin(π/2+α) = cosα -}GNoA`ZP
+mWA$)g
cos(π/2+α) = -sinα {E.Cd4F8g~
32K_*O/-Xy
sin(π-α) = sinα gKy|sS
`6nx
cos(π-α) = -cosα =1n{@-9.
sI's3JI
sin(π+α) = -sinα 7Qp][Ja
/! V88yJ
cos(π+α) = -cosα JUeQw%:
@&M}F&b
tanA= sinA/cosA _X{P*
cxfmO;~3
tan(π/2+α)=-cotα rC9U@9-eS
R
jTLpC}
tan(π/2-α)=cotα /w#E@-K?
;1k_J
&
tan(π-α)=-tanα 76@%W.RkA
/?@d-`
tan(π+α)=tanα nA{_lG
:C,Y3e
万能公式 B;Pd^U^LV
rOuQnIV7
:w
g[)g>
WqRbNbL
其它公式 SkdRTE0!
w\/BWRzM
(sinα)^2+(cosα)^2=1 $/;/pPk2
'JynO8Z7
1+(tanα)^2=(secα)^2 4j&nZoIU
IxK^w]!a
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ute[c{XU>
[DgzFdu<
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 B()(*k6^S
C_Sm9MEaz-
对于任意非直角三角形,总有 k6.8
BK
4l9b-(UbQ
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ?qqaV"wF
~Gu>RO
证: $ /esm
ZA
vbC2v
A+B=π-C yoiR';]
_qa8zL1
tan(A+B)=tan(π-C) kDG*#!kl
'$:-$OG4
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {IRH&iQ
i\h2=HYA
整理可得 z;xA s.]a
CRFdc1
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7e7`-.l|
22PkumdG
得证 dm`@eH|I-
!ZB>E,(q
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Li=!o_^L
:j93\<c'
其他非重点三角函数 SMg-4g3/
FM."~g1B
csc(a) = 1/sin(a) q6Q"@*
mMlo(
sec(a) = 1/cos(a) ftb
2VtJ
J@ #I>U_
`\9JcW
TP
8hvaa;C1@$
双曲函数 Sltjs"?_
Yf+4k$dB
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 R .;rlI{
VRyPtB,!Y
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !un$>u^f@
7E\'\z"O
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ymG
u<Q=
!Ndi%4}W
公式一: M-aL>a
[K!JdVQr
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: <pW$fz$
Ndx-+
sin(2kπ+α)= sinα ?]t)sZN
m9Rin4WDZ
cos(2kπ+α)= cosα i`>&AFdc
d1m[93:B
tan(kπ+α)= tanα +N6
}
=A``A74,_7
cot(kπ+α)= cotα kJg
Qcc6sJ
TUV|.p
公式二: NulJ/vWfh`
'-t6k l
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 3g>TTi6Y
+K2Q0F?
sin(π+α)= -sinα IKE/ Ilo
u7G5W).
cos(π+α)= -cosα $Z&a%SQ
.(m@uD$o
tan(π+α)= tanα vo&ygFB
}}~o?0_;l
cot(π+α)= cotα
#Bcp9owq5
PA *vj
公式三: R5oi|#
*FPtYvG^~
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: \mJNr8/?
oh=>`V{D
sin(-α)= -sinα 4j2EVMW
#YeN~SS|
cos(-α)= cosα Od3\M-A"
*w6-KLc}zL
tan(-α)= -tanα :oro]q|>:
|)r5P>
cot(-α)= -cotα 6} pdZ)pD
2[`(B)
公式四: sdXO
D29'P7M+
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: I8pVfbXVe
Rk[-hK-
sin(π-α)= sinα iyAmyyF
u6=oj1
cos(π-α)= -cosα `I:?=rv h
;H-G_Ou+*
tan(π-α)= -tanα Op,1+ Qd
+Kv!YZ=
cot(π-α)= -cotα ,,jaZi
o[!QaMh/
公式五: Z6|!q\LR<5
m?$/v5pC
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: rlZg@*li
3
Pxp@ZVzW
sin(2π-α)= -sinα uR.&"3"P5
m|IEE6-.}
cos(2π-α)= cosα }WqN %
rD^LB5 $
tan(2π-α)= -tanα m<l17#k]
A%b~I+~
cot(2π-α)= -cotα :}Q 4y)S
,&::Kz
公式六: OV/D~I3^
'&)xj"v
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: svpq[iaE
p)A|^+
sin(π/2+α)= cosα Y}@3)P&b
N6G}y$lxg
cos(π/2+α)= -sinα 'HJNGU
O-U48h^x[1
tan(π/2+α)= -cotα fU0r
)u5B47D
cot(π/2+α)= -tanα >-onc-Q-
1]!*z'\M
sin(π/2-α)= cosα I$x(s.7O
+,.jo7d
cos(π/2-α)= sinα v9?'1 '
%H+VC3
tan(π/2-α)= cotα &Rlk5x[eQ#
wvIB~=tR
cot(π/2-α)= tanα U` L4V
9Qv+~MB&T
sin(3π/2+α)= -cosα .\o0bI(O>_
^cl"#a
cos(3π/2+α)= sinα f.
<E!Qe
0C3Dna"B
tan(3π/2+α)= -cotα aX$p!D;3
O\- _$I;
cot(3π/2+α)= -tanα e}UNwOC't
n0m'c
sin(3π/2-α)= -cosα tjG&9lZ
<_u`wM?E
cos(3π/2-α)= -sinα t252gX
i2XV.L9A%
tan(3π/2-α)= cotα ^/j}rqsqQ
X8*]^Lu
cot(3π/2-α)= tanα #@{ApN6-
b\|@TE
(以上k∈Z) }nvaTfV
4aXN`RUE
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ja4i?aQc4u
{'Sf2Mw n
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jTr-<W>|
=*t/`Dr
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {QSh-
4q#?+'(
√表示根号,包括{……}中的内容
![](theme/default/images/sigline.gif)
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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