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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >y% erx  
:~RGxJ;-@  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. AwDZ!B&  
k>Nz>2?`m  
　　1、三角函数本质： j0CK+.  
M6h 3?E  
　　三角函数的本质来源于定义 ];KKo^G 9  
vjd]L%>  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {I)g_i  
x ;)V  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 qn'b FO.  
MwQ31(w  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： rUXLqr'  
: kXrs  
　　推导： Rh8L:$"6  
hlP( d  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  dS;Ty  
EXni)(4_k  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -^FFSp|  
XO &#yg  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) gfp|q  
%:A<:n1 ?  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &`KT$FfB  
@84|&;`w  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） -I-Q/GS  
wI/' G)+5  
　　[1] hY9p26s?  
O<QNy] _  
　　两角和公式 m!F&C  
A"W?5 ,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB V_^C!  
AD&'|!5;M(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   ;= XO<2  
 ]&^'1C`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Z*1 {.\t  
?Bs cfpRq  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (J<WSkZO_  
,[Vg2b  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) x1aZ,**  
-/V9^8'  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3oM[M'cn  
a[(R)cVE  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  v?`i}OW  
$9]":Ev|  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,O[< h[M  
f`,zI6:3MQ  
倍角公式 jhHX&EwA  
V9_D]<P  
　　Sin2A=2SinA•CosA lnFtZOIsj  
&BjA "g  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 i#x'DX&/  
.|:(;1  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） q5'dawTC%  
U< Hl= zA  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） %^x?J_3  
-jKu=m|%4  
三倍角公式 [qG~{<'df@  
yL8Tl+0Ll  
　　 |Urt<n5  
x XKR}` ;,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3xD4o  
{MViHs#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) h +Zbbl  
H e%2I@,.+  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) sj7!cN|-  
rla^i%  
三倍角公式推导 G,9i41<ql  
E4hOzI~tA  
　　sin3a *JEq2U'  
MK}}iE!_s  
　　=sin(2a+a) `"^ 1wwA  
_xw65y0z  
　　=sin2acosa+cos2asina QBV>@/y9  
>K r|7{Wlf  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina slJ7nH0  
4ivV7 0  
　　=3sina-4sin³a %WKQ4}_/  
=%2?CTG  
　　cos3a VZ0VOQg|  
y?!L *@  
　　=cos(2a+a) =V{u@s,  
#17 "6S!  
　　=cos2acosa-sin2asina *Wm'UXwl@  
AU&FMJ+]8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;=1 h[Jv  
2u=X25s 3  
　　=4cos³a-3cosa bL?Do*:  
Rc9!~C+J^  
　　sin3a=3sina-4sin³a U);^  
=*_fLN)8  
　　=4sina(3/4-sin²a) 5nF6V[[  
Htn2]{A3`  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] y\7xyG  
xB"Bp5bQwg  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) [TeDr >p  
7I <!e  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) A (4vOS5f  
s 9zeZ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] v+q;uI!3#  
IGHe  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) U:fRG6Skk  
[zh`pNtJ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa zN=Zd%@F  
=uFZAdq(f  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 3oICV,c<  
~oN7vU  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @i_c-uWZ  
e  ` 2)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) !5 V0qlV  
A J/kBA?7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) WE8 nThpc  
mR=\8,P,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} EC#=@Ra  
&eSX!N*WE  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) %b G-(~Z  
5mg:;JQ6b  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] v#-p wC9  
n@()hAp>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] r %v^4k  
+R=KCt1i  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) {eJO~Jpss  
txM{62:  
　　上述两式相比可得 lDW- jV85  
P*D4,  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) YD@zT>iA  
l ]1UY!/  
半角公式 ?sw1=.J1  
%%QnxX5  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); CY(& }  
$%; 0O;XZ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. YuHdsMVu  
wfO*} pv  
和差化积 c}X@b v}`  
 I4{jnY  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] y2oLFu*`  
oX_CoY}T`  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OZZ$Ie@Y  
=>QUup  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] w82[U m  
y ;j'XHy  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uuotvq"a  
dx09~DI  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) oAMXX&VJ  
ld65 SI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lbw)mS8  
q#)Up-  
积化和差 #CBPt*8  
)|D-S9Bgx  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] WU_aM^W-  
S -&d+6:  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &l^zo83  
[ ^b@ n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] O6.ZQ2,O  
;zbY,N /;  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] _bOi?'k(  
?^_@D  
诱导公式 F~Or$a  
TwXxdb  
　　sin(-α) = -sinα (ez}fpq  
6ZI-'iq  
　　cos(-α) = cosα 7(|@t9  
bBjvF8x,  
　　sin(π/2-α) = cosα zDwH$K  
=5XKmf~  
　　cos(π/2-α) = sinα 4rK~z&n  
k#=cY>Z  
　　sin(π/2+α) = cosα MO6 <  
|aN/6I3n*  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7ev;un6 @  
I_z^I%1  
　　sin(π-α) = sinα (lK=:dy  
: Vc B  
　　cos(π-α) = -cosα }W*G P%d  
t@ IAscD  
　　sin(π+α) = -sinα >&L^DHvOr  
LK&L7B0  
　　cos(π+α) = -cosα =K/:GPCch  
n;KKdu  
　　tanA= sinA/cosA fbP{fJ !  
wp$4{gpz  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα G^R:rt  
 ji*yWX#  
　　tan（π/2－α）＝cotα 58_MMM  
,rX>DJ  
　　tan（π－α）＝－tanα `gmDMXba  
gQECij  
　　tan（π＋α）＝tanα bC,N] nU/Z  
Y-MHM[euS;  
万能公式 -2uZ#`  
/:]@ %M)%  
　　  %><T  
q;$f 1D.  
其它公式 m9O/e[uyFo  
+ +e7  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 p,.=:cf \.  
J^_WFk)*0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 G(`Q?:"v  
GvVlEK  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Fg8` pFp}B  
+,B/.|g)&Q  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 H&6vKtA8  
C[o5j{  
　　对于任意非直角三角形,总有 sF>"KYE  
zh&3 ;v>j  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bX,kq5E  
4.{ Q -  
　　证: Am,G]oU  
ac o1$ {  
　　A+B=π-C I{OXmS}M  
d,(Uvg77  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Sx1t6BdTaF  
&yI@@iu  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) je$7Ra|  
Y)(]5V7w >  
　　整理可得 pA. z  
NU(=FjT  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $FznJk.@n  
C1lRl,>v$  
　　得证 4 x$   
.iTK'CJ  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Xf"M]x7As  
>lN945Kil  
其他非重点三角函数 hLN% Ja}  
R5q0eZh$  
　　csc(a) = 1/sin(a) fPjNu<a|[  
Y?lFUEw  
　　sec(a) = 1/cos(a) o[GuP~eJ]  
.AG)8c%t  
　　 L-]/n  
G>fwm  
双曲函数 7/9=/RjR$N  
}hw:;fyM  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 $lXSizf|Y  
$}}f7,,M  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 '9Ph/e  
q LB~-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 7$YTK^X5[  
x$x)4?'UI  
　　公式一： {]A,X98`  
Wz M2{-X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： {r$; K M  
&'$iTb"  
　　sin（2kπ＋α）= sinα %W Z{  
Z7ST{&sme  
　　cos（2kπ＋α）= cosα V&)|jkl  
z4f$@WVH@  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8nQ~X=%2<  
6GH=O;{l:  
　　cot（kπ＋α）= cotα A8 q6q  
fC !p/)pU  
　　公式二： V8T3.g)  
Ak0O\?!@ 7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： {MS^||`  
c*u~+7]k  
　　sin（π＋α）= -sinα `a%"ZjT`3  
| CEJ{`  
　　cos（π＋α）= -cosα G.W.=|'  
e~h2"Ftr  
　　tan（π＋α）= tanα o:G *#*d3  
!\S g$rn  
　　cot（π＋α）= cotα 6`NSrP  
* >VULvSl  
　　公式三： EXN $~p;V  
9fx"tlKM  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： z<b+)QxP  
W^@#!Z'iE&  
　　sin（-α）= -sinα 5QT,`c  
DY_e2A32U*  
　　cos（-α）= cosα aH3FlKliN  
7YQ\xNR@&  
　　tan（-α）= -tanα 'JLx V ?p  
`t5,].n  
　　cot（-α）= -cotα wk^]O tm  
7N{}I[<#  
　　公式四： & uu,%:&g  
?(EK}Q>oq  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： mN~_[;  
5>PhJmta+  
　　sin（π-α）= sinα 2Ct^d:zKT  
M5\3wa`R)g  
　　cos（π-α）= -cosα ROW:)*  
EKnRbmA')  
　　tan（π-α）= -tanα u`X`u~J|r  
V3do[iH  
　　cot（π-α）= -cotα d=%.$  
z#?^Hnhmr  
　　公式五： JW`p6#Im  
<"Ezd&6Od  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Qp9^3>h.  
>.&|~;Z  
　　sin（2π-α）= -sinα nXKv;( `&2  
A"xZ#c:d  
　　cos（2π-α）= cosα a: :+F?  
[QMosX,7Y  
　　tan（2π-α）= -tanα w`["dGp}  
< Q z6  
　　cot（2π-α）= -cotα )PC+7<6;0  
AI,MHXB  
　　公式六： hd_%,gk  
"pX-8Ibb  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ,^x+`?@qT  
X j=2=u  
　　sin（π/2+α）= cosα 1DGd#G"@  
^22NH-s  
　　cos（π/2+α）= -sinα S<Jf~VP  
_]3 R\aJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα onQzsVU5"  
{3\ b  
　　cot（π/2+α）= -tanα ~x(KE,fd  
6w~DQS6Q  
　　sin（π/2-α）= cosα 8xz=Q'zN  
q67SvKs  
　　cos（π/2-α）= sinα D#5J9  
mSc))~  
　　tan（π/2-α）= cotα i`q hm  
P}M7R m@  
　　cot（π/2-α）= tanα 0k6nG\;wJL  
m>LtY  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n-(QI6  
gB'Dw L  
　　cos（3π/2+α）= sinα g 7e{a0>K  
">Q**>ub,L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα >N>&:Wm4  
6<h4/GeG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 3iEG,-z  
A{/KrA6  
　　sin（3π/2-α）= -cosα G3k>~tj"  
iT/-?C5&1  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Q1?w<  
l0`oOT'  
　　tan（3π/2-α）= cotα &1bf: :rw  
/^1}61  
　　cot（3π/2-α）= tanα Is7>.o)?N  
#q< x#-  
　　(以上k∈Z) VQOe$EM  
ev=udJ  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 gGn=]k  
H3[Jec;-E  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {.1$c}k,A  
C|dLSu`&u  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } p?u V:R  
a=@S&Q9p^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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