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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 KhY~\?,b  
,B)l !6w  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8OJfx8AQ  
H(Nx "-  
　　1、三角函数本质： aXD>$ o\A  
_L;<=w$  
　　三角函数的本质来源于定义 TCI_?oN  
Z% E3RYj  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 M>m[ |n  
[Q/U|iW'  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $nkv$LMi>  
.|HgjQ>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： **l/X  
AZ'%@6V 6I  
　　推导： oZ-:MT  
gYMLf  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 6\Q  
dI_ul\h=f5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) v7e3by  
i0;7g}`?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |kNMJU0X  
MHu|Er)o  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 R{'&T"#  
@*_jXz?T  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _LT[j<   
#<E*L* ^  
　　[1] \yy|=N?  
?h''RL  
　　两角和公式 EPr ](Lf  
TPp=*_9F  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  ZBW?w  
;[f>Ye]p  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4*49Lx=J  
%G?LWXj8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB =j084E E  
Y5.g^W{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;{W >MP!  
\LK Earh(  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z 24v_8@  
L!\%E:2%E  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) kN(ARc(o(  
^DQ[&d1Q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  P pX7&!1  
jk]G%s?~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nil7C  
m=a!/I$|  
倍角公式 T|/U>io$H  
Q_;QN6*k  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2&>k f[ }  
P7.\_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %$LhMC8~7  
)Bu7GUc ]  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） wiJ!8xS  
nMl7U4a\_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <mt7?(YW  
\\0:irun  
三倍角公式 KJcpw=g  
,ekf[h\  
　　 {L4mpoQ?_  
j1)>m4L g  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) (yVC\c#/b  
aF: k%0|[]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $F*bU_^5  
s$-n) Y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3Q2B.ibj7  
m{#!6UTL  
三倍角公式推导 4&vZ yU  
?uKWDJ  
　　sin3a M^hM!QXR)  
Arc3 Z/#  
　　=sin(2a+a) HxKiVA  
utfy<%+  
　　=sin2acosa+cos2asina |vc%K/_  
`T<0">  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina CMc%PWc|  
sB/k s"  
　　=3sina-4sin³a 3$@e6^2x>  
~PD(mHnk  
　　cos3a 5->%WNj V  
A4Q}^q[lS$  
　　=cos(2a+a) tJ]er9 J  
F*ddJz7[  
　　=cos2acosa-sin2asina g Rj /q9  
C5/_KeRSw  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa WW3Iq)  
x=f2DK  
　　=4cos³a-3cosa .a/ns@B  
G4TzAwG;L  
　　sin3a=3sina-4sin³a py AGqI  
;/8}~!fY$  
　　=4sina(3/4-sin²a) N2j7CM\  
9v8cXwJsU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] !c-?;dRna  
8:_Cko8W2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +3;TE7   
^u3--P[+  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) vTE#mNN{  
mt`{&EMH  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^^7P 6YnN0  
,Gw^I^$o  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) x{V6Yh0x  
tVoeWZf  
　　cos3a=4cos³a-3cosa X u]9Qlm?  
u\txh160  
　　=4cosa(cos²a-3/4) a+u4d=q@  
QqpwuN-Jd  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s[uA:wDH  
\z\ktO@A  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) E#BCBzrw  
Y[=2!lj  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ml 7(mK B  
_:_lv3lw  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} O,1^XaZ  
heGcMfY]WV  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) f$x/oS< DY  
_c UvmcuN  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _WYrh<6hD  
*R97K Z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -!i8t'.b  
*x93oyiRsN  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) WpMU*:  
9l f7q;2,  
　　上述两式相比可得 U>]|PPOD  
q] f`,S  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 9jb% _  
.ph_tXn  
半角公式 nM-nc  
tUT.YY 3t  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *XF 3tkS  
`6%NyGPcQj  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6 ,-kB]RU  
9R&i2-n  
和差化积 co#!(W$T  
s?fJFF~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] V+9ru=|"<  
+Dqzv![  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _\UL^ $Kj  
FH+)_{UB  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] K\U8YgW E  
''Q 8`D#ss  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] v.V4\$  
\-~$/$"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Y5b $C:  
Xc!Mfgdc  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) B,;8 u4+UW  
 2v  |  
积化和差 ;du>$+1  
{1Nc>UT  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] GD_o1#~S  
W71 c z  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] [Of>@xA  
n\^tYwK  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] papuo8o-  
TXTp6[S!3?  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] IwP0x/]  
OfI >EQ+  
诱导公式 cX3G :q  
{jeEuOyc  
　　sin(-α) = -sinα +p8d,  
E}nlY1U\  
　　cos(-α) = cosα &!CG@G9O  
n)Ms{*  
　　sin(π/2-α) = cosα GS n_+,  
xWBtPng|  
　　cos(π/2-α) = sinα 9lt:9k]8  
&ih~'}4W"A  
　　sin(π/2+α) = cosα C9gL`  
ssUn>$%  
　　cos(π/2+α) = -sinα wsRDK b  
-1- XW)  
　　sin(π-α) = sinα nA .]S=3  
+O8.8lAJf  
　　cos(π-α) = -cosα P>9<`*F F  
umU. (U  
　　sin(π+α) = -sinα @`k3%6O  
{]DlI|(x  
　　cos(π+α) = -cosα vX,i[s1  
PJ'0\I5  
　　tanA= sinA/cosA +2f6it_o|  
>Sj#83>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα tFfsfkd-  
AQpeA/3T  
　　tan（π/2－α）＝cotα ER7w GQ  
D>;3V@~Q  
　　tan（π－α）＝－tanα #E/bzwA  
^ 736XhVK  
　　tan（π＋α）＝tanα izI -x#  
chQJSh=  
万能公式 pL-Mf\'  
I6Y7xaUz  
　　 zo] InRB  
}_p j*BM  
其它公式 sH,lm!  
z;d\[8J'sU  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 F2Q1(jYo~  
zFGJTqT!*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 KnX^' Fz  
2GF] )g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 il~3w>L'3  
QuO gARf  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6 6J1[M/p*  
Mqq `>)w  
　　对于任意非直角三角形,总有 `]II2pz  
" CCx+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 47A,z@Ux  
tBFg+wS-  
　　证: x*u=gu`;  
h, k2^el  
　　A+B=π-C P\e Wxpl9p  
 iELK&LFt  
　　tan(A+B)=tan(π-C) dF}$gx~d-  
pu9v F!=H  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uSk~}|8Ol  
tvl#; 1J  
　　整理可得 N)fkxj3  
jM/j}B  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zB|wb U*  
7\5c*zkKT  
　　得证 clJwGln&J  
XYuGr )u3  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 NHyIJ3Ji  
M;/|#]m0I  
其他非重点三角函数 a>Xi bz)i  
 .F`HH  
　　csc(a) = 1/sin(a) Z*7 ) DgR_  
8 )dL1EJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7Mkf_S(&  
TJj sf/y  
　　 'bx<6QL  
\5U21o$qk  
双曲函数 FJM 9r#  
-%QKO&D3  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 >Ema32  
.%<8kjE  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >H'!"8(1  
zbHeE mU9  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 3=,`t i  
4-f9;?M  
　　公式一： N"SdWc  
VJw2Z1>  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： p\oam;Z{L%  
Q<!`N[C+  
　　sin（2kπ＋α）= sinα =)PegB  
_w@+l'6R  
　　cos（2kπ＋α）= cosα p_H thKF  
1*901%Pi*5  
　　tan（kπ＋α）= tanα ,y}E"5OKo  
BSHZk1\m  
　　cot（kπ＋α）= cotα `HX3'N2 P  
!td~iLZ^g}  
　　公式二： TBgNc/G<  
Ns8_d[`t  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Kzv5T*Z  
6$ Ia<  
　　sin（π＋α）= -sinα xdB~op%.  
7Clk9-yCE  
　　cos（π＋α）= -cosα $w Q2W>~  
${p#3  
　　tan（π＋α）= tanα &u.+DXo  
~WVd{^gU)  
　　cot（π＋α）= cotα t#;\*_\M  
@b /64SG1T  
　　公式三： ,pu8~uLkp  
j#MD 0\9m  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： lFg=e^)V  
d;'tKFo  
　　sin（-α）= -sinα >K9hFm  
~4] |I  
　　cos（-α）= cosα s@BvW+Y1  
&[M|M*u  
　　tan（-α）= -tanα 9tZ'td}l8b  
gR*"5uo  
　　cot（-α）= -cotα U0jDV%  
0k@U-N  
　　公式四： AdsblfT  
$c,w}}1J  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *XjeG&T  
]<l'd`mE  
　　sin（π-α）= sinα 2t5[v{l\  
P_w5b_[,  
　　cos（π-α）= -cosα 7kDBo]fX  
j -pWj  
　　tan（π-α）= -tanα $k.O  
)%dD$C\1  
　　cot（π-α）= -cotα etn =(D=  
1/1(>n;Gb  
　　公式五： k] CJqEX  
S~!6KOsqKe  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7nHT0RrG  
_ lg+uJks  
　　sin（2π-α）= -sinα ;7:<P.P  
`'6e>1v  
　　cos（2π-α）= cosα |$0{ k=  
4Y( :5#U  
　　tan（2π-α）= -tanα 5d;#9[  
 l?blyw4  
　　cot（2π-α）= -cotα < ixPE9-&  
={U302  
　　公式六： I%d4-dfit  
%V2/t7Zu:,  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： o^9jAzF  
La3"`/y/  
　　sin（π/2+α）= cosα zw ,hY g  
<sCe*A!:.5  
　　cos（π/2+α）= -sinα !T0>{IY:  
a}P=`z  
　　tan（π/2+α）= -cotα "{>w$u[  
_q@RW=~z  
　　cot（π/2+α）= -tanα KfTjD!,#  
Slr qw&?+  
　　sin（π/2-α）= cosα  LQyL  
O]1}X</m  
　　cos（π/2-α）= sinα 4[wf36 {U  
[g f,5>Z[  
　　tan（π/2-α）= cotα G. Sb7#Y  
$<DCG_oL  
　　cot（π/2-α）= tanα f?AY~FZY  
~0tCY^os  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .9cu80  
DL kTT\[  
　　cos（3π/2+α）= sinα +,ry$M%m|  
[BNLj?As^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &o3X:%u  
(803JZM  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 9QGZC;  
TKn[KvN1B  
　　sin（3π/2-α）= -cosα (YY[ y  
xF.Yx 0Y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @PVR>  
Qn;,JvK)  
　　tan（3π/2-α）= cotα azYqjt E3>  
ON %B  
　　cot（3π/2-α）= tanα l0{ft-YT8  
>tj$g~v  
　　(以上k∈Z) n;rb )J  
_/'a3xC%  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Ec>:.\r7n  
*zglE~y= O  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Dx@>*H)>  
:@} |cl Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }  P]K#u}:  
wG@"aX  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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