三角函数内容规律 Sf'e5Q,W2m
2iyt4-lW
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4S)X%m
[SU3E ^
1、三角函数本质: :[dS9%XK
^,vkOt&S
三角函数的本质来源于定义 ++dNl-
(z!vP)bh
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *E}jDIKwR
B{T/Cii,k'
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 MK!.uY[
)*
B#MgW ?}%
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: %k^37"-~
?:+*)(crW
推导: bM~GAk!~
%8 ;SgqaE
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 sP+%x$t9
P0%T/7
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;;GH*ea
{{Y~2.
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) y')A~f?I
[BUY3Z"4Kr
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Yp@2I:X
=@-1aMg
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) H8.dF,+
u[:5c0
[1] \o_a-iS7HX
VX!!+oorh
两角和公式 YA{j\aV+w
@{`7
\`6s
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }p`RT/a
Fa":}BZD
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB lIGn uX>
`j?r9YllA
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "^Pc5J?et^
7gwYI0`
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7
WX'>u2L{
^>_C}
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) -ej]1{ gp
XW &Q,pD
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) M3eY`Bb
X
/r nz
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) $+j0x='g
o%SAfqe
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) JlVP<X^5
vU5S/g!
倍角公式 gSnJN
V5
*&=u 8*FX
Sin2A=2SinA•CosA
W&_(
}&b2 9r]
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 >CA>O(j
l}Rt@o7#
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ,1q`f
0Mr(
bO[Ly3
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 73n5
aw@.
16e(>"i
三倍角公式 +),^
XP!D p
b*nds$*!l;
z(p9,l}H@Z
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) xOMKRMZ j
LG?]
vf
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Of`wS
&@Fl- WsX
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) I8; |pW
P<kP**n?
三倍角公式推导 |LI$tl
V-g$Ush|
sin3a bf9h
`i
9/bY'B
=sin(2a+a) VAe[+O
[atmx"P:a
=sin2acosa+cos2asina j?MY$/
GI\HU>V5
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina rf(j\A
H QTub
=3sina-4sin³a mR3BQf?
$by-'1k^r
cos3a "bkMnw
ezlQ.Y
=cos(2a+a)
S3d6r;KOP
fgL'&Wmz
=cos2acosa-sin2asina eSD9.A)
/o
Bk?1y 1D
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =YEZ.F
_Nw!eL@Y
=4cos³a-3cosa J4HmU+3
i_A@I*u~
sin3a=3sina-4sin³a Bn[/%t
TQzkR[9
=4sina(3/4-sin²a) 9#8> 4
FLN^8/A
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
yO-ti()M
*hZJ$Tw
=4sina(sin²60°-sin²a) @ =`*
N
I-vP\u8q
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) X
IV_*'
qr|rT:
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 67xy [
H;\O19:'
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SEg^rCH
\jlT b%5
cos3a=4cos³a-3cosa qC4^'"B f
y@:SXO-\
=4cosa(cos²a-3/4) .|#]y^CW
U<}0\fz
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] sN
._2
#
k]oRC<\,
=4cosa(cos²a-cos²30°) r
e"&=
QB:2NW>
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )f9;1XgTZ
pE OSVU9Tg
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} *WY$q)M
{ @w\ggTl
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 6ib|=mE0
3<C[V
G\
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I#I2<KEX
yFreU3{
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] V%E(<8 K
h5:}|MwG
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) tnUU
*B@#
|(nv$Ka
上述两式相比可得 'gJ&?{;K
q nP"v%/u
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &v3^SfJy
c]P%ezcl
半角公式 zWEHN+dNw
a _BoQ
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); >@f~L'8o
<a32l16Q(
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ia"Ub^/u
/,!O~i
和差化积 H[nML 0
z/H6 n2V
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $PSF
qZxhRjZ
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cX
SNEK
AW1>bHk+>
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DSM- O6~B
hc5sl/{P
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Rs G#1
LD@YBY|
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ~Q)/+w
>b&xBdt`X
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %W_gNNZ
7]|
.RW+^`
积化和差 _r,u~Oe_s
)Ql_zFt
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Kk;{a+7-L
v/:d9,
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Zu8fLL.N
?T>w1!
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] A!z).
]85A6I\esk
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5Mq~5I
uhDf`[0#6
诱导公式 6PS_9KZp
}2'U:\
sin(-α) = -sinα 2UJCzKp
ze(,ljuI
cos(-α) = cosα ghOD@/:0
OgB'@*NJF
sin(π/2-α) = cosα oQ
If%e`}
+-W% N_O
cos(π/2-α) = sinα '(xS,.`:
{nT6KY)+-1
sin(π/2+α) = cosα 95B}2+ C
9i4fLLx3
cos(π/2+α) = -sinα irNhZjXC
\_K^
B[tr
sin(π-α) = sinα `t0^a?u
E
1_!e
bM
cos(π-α) = -cosα 1E7EV$Nx5
V)bT .Lj
sin(π+α) = -sinα ?O>Ik(5b8
Mm?#Y?VK
cos(π+α) = -cosα b3-7
jB?H)*E`,
tanA= sinA/cosA u<HX;Z2
ceDq[bw
tan(π/2+α)=-cotα U9sGmZ\
Cs%^
tan(π/2-α)=cotα F6Nm<
6ok
5a5~0
tan(π-α)=-tanα _6|62g:m
N3+yS
tan(π+α)=tanα f/Ds;= D~c
v9 `1G.5
万能公式 L+S u6*h
0eK5bS6
*MWHQ*}"
1y_?A=Ni
其它公式 c
66Z"
&Qb1{+m
(sinα)^2+(cosα)^2=1 XThG2Wc5
XfU:wu,j
1+(tanα)^2=(secα)^2 d< jSt^
{<@i (r'
1+(cotα)^2=(cscα)^2 H! 4*A0dc
b&>Wlo/
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 oIY5"U
AOrih0
对于任意非直角三角形,总有 3YW;z
jl kQ6L\<
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gj.\JMv6
T
FyZfCW
证: DlGk ;+D\b
{UV ;<Bk
A+B=π-C |b=~I=)
[k@iI7M
tan(A+B)=tan(π-C) =("EK>
0!|7gO
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) q@{&oT
*#YaGG
整理可得 btu:aUf
b4W>
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5d`Z5\I
spd5]+y
得证 eqY#|T=55
f!GDbI(
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 HQ0br
u&G~M W
其他非重点三角函数 uQ*0LXmZ
#Rpp-
fSWf
csc(a) = 1/sin(a) ;n;Z
pXB5t*8
sec(a) = 1/cos(a) 1
/Q5$
THH1_>q
g
0#m{R ?
tU_1GW
双曲函数 vWL@"*n
. MBH
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 PpZJS8o9'
"D4LRw%
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5?2jb"n<%D
[@.NAR;
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) y+Ye~@h5
0aD#ue
公式一: HF 2q,ndK
fkTWX{_
ZJ
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: dQmtVu
b/Fb*Y%;
sin(2kπ+α)= sinα :^*c|<
IrTs"0b
cos(2kπ+α)= cosα |[
Mtoq
" `c4YQ{
tan(kπ+α)= tanα 2KH c,vzm
np|#"3Er@Y
cot(kπ+α)= cotα ET5iD$db&
/~@)O :
公式二: -js6ZNp$
6 _#Y 6P=
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: $
3 $'E
G{3=OK(@
sin(π+α)= -sinα 2Q No}e
95+)V")rn
cos(π+α)= -cosα kz ,+m
nE1;Z 0
tan(π+α)= tanα JbRw<V
B0et&cu
cot(π+α)= cotα
sF"
Lzt9GW?
公式三: H-^$R(4H
p)qbrPnIo@
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: IQCxO@!s
JB7pYX
sin(-α)= -sinα c`N`9A
{aV/M;zw\
cos(-α)= cosα <W2061%2
0&&1uf*
tan(-α)= -tanα +( uDh#
+#|'gbH
cot(-α)= -cotα @Is#o/5dC6
4:g~U >Q^H
公式四: 0!FXzw'
>] b4:r
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: [c;1$qr H
*e(9kVPz
sin(π-α)= sinα 1"=i !
5e)?6
cos(π-α)= -cosα bIU:XI?2
q{/]A1lo
tan(π-α)= -tanα O-M( ,}]'
&`ri~lJ
cot(π-α)= -cotα oZq^E,Q8
@:(Bem sg?
公式五: UcC1/04C
gIh
4+yan
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: #V {OCs
:/jMciM`5^
sin(2π-α)= -sinα :VgwEf
H0hc/y\yf
cos(2π-α)= cosα ot/W~Mj.d
Vn<!(H
tan(2π-α)= -tanα xBD~F6
Yjrf6yV&
cot(2π-α)= -cotα #Q^O <z
Rs:n" 7V
公式六: %T.=RH:j
3W!4hIKz}
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 2y9yvob<
ssd@D_
sin(π/2+α)= cosα =lY (t
Qro`s$S
cos(π/2+α)= -sinα i8HtE)0:x
98RzTHQJJ
tan(π/2+α)= -cotα hJw :
kHPs1<MT
cot(π/2+α)= -tanα }V(e+sf9H
v9nw/$;
sin(π/2-α)= cosα <87M_?JAe
N^$Ql9qe
cos(π/2-α)= sinα ?xJ?!>y
IG`~q/t}
tan(π/2-α)= cotα =Dr(6P
M-M]b+qb
cot(π/2-α)= tanα l1v^ UzQ
*
+o&3cBJZ
sin(3π/2+α)= -cosα xS #sHDS.
dLsd mzr
cos(3π/2+α)= sinα ew9[ R3
`( F#bL
tan(3π/2+α)= -cotα s*882Z"
L/7|Lx/7/f
cot(3π/2+α)= -tanα z"pu8bUP\q
#M6O5RMm
sin(3π/2-α)= -cosα .(rH&7$+
i~<R.ols
cos(3π/2-α)= -sinα iv[W;um[
Z0?iq0
tan(3π/2-α)= cotα
sSQz 4U
}7+7T
cot(3π/2-α)= tanα (7,-
"{
g)pHPi
(以上k∈Z) 'L
^c
$R
Fs<}-^Zl
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^h^%)>H
5iO *K5^
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = }$PKU6
r
zqeQqT/
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } (rP"_?
d:#S&SZk(
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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