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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ZoT& F  
Z~ uMne-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. fcB{FM[G'  
6fXSeCz.[  
　　1、三角函数本质： o Ig7J8]+  
zp%[ 3L/  
　　三角函数的本质来源于定义 vF^(;gw0  
[c eEzQ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 (,"\ESHI T  
F'>uz@s  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 R }^kOU}  
1z _\;#SL  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： IvM5TvPEB  
Z C'Mf  
　　推导： #,x%c   
/bS4}-\5j  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 @nAHSlO>g  
tQ(}9| Z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) D`xX TK  
]16Qq;V~^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ^#-Py$$oU  
HV\K/  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 YzUqL}  
>c2D=i>H  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） x:!3@W.iK  
XIwUO#  
　　[1] p*OmG@w  
\:D*A&c2/  
　　两角和公式 46f@. ;  
is'a:,   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i,An  
` L \AJ  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  n: 1E;  
t^)H$IqH!]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _9JFb~h  
Jg|%Qeo  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 3"&6YV<cr  
wjuLwfIcp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TMt{  
]xS-k j(<9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) zdj M8 {J  
G 9 MW 4i  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  db 9n~`U  
M+,d9+ O  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  & rX  
rqn TE9A S  
倍角公式 di ibtGB  
rh$ { q  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~jTE[d2  
` )lMG  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #}&VY,(1m  
\F)$W8" 4X  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4xg/}w4=g  
k$.X m#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） x=t<'HJA%  
jC4ORjY  
三倍角公式 {[Zlnpz  
7EXKo.2F/  
　　 s7X`3$M  
{\[R@CJ6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) v1]0GHF  
}ZMIR~  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) @:b"oAh  
hgg]Ds>"{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) h/U3I9P  
x,@xg4  
三倍角公式推导 0!_.WyT  
/xUlI.l  
　　sin3a Km4X'}   
Sj<y^ ^  
　　=sin(2a+a) xv{1j  
jBjAL{1  
　　=sin2acosa+cos2asina GuFBpe[l  
:y2Xg  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina RbL?`5C{-  
tTXX]h><  
　　=3sina-4sin³a dSP^3~iEo  
|p;`oA  
　　cos3a nJG[=aF$  
[{kUcj  
　　=cos(2a+a) lD~Cm2c  
FL0 iWXW  
　　=cos2acosa-sin2asina D!=\TW  
8<ONO  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2QA Ztt  
;s k^ d  
　　=4cos³a-3cosa M Qcr5n[%  
u}$hkE  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^1*04  
u /#OFM  
　　=4sina(3/4-sin²a) Ny_-R$2  
so@~jS  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] KB MNlX@  
O?'ww~ l_L  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) R'j+5~:"W  
iw3*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) nhS B,  
TQ8;Yn  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @AJ7y*U  
!:5L2Fakv  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z"NTohLX@  
S\!g|5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ct +LW "  
&E~kJ<k w  
　　=4cosa(cos²a-3/4) UwpQ+$^  
{.QVARi  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] t/Cc[xm  
qw:yW():  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ;Ku _V  
B3 Aa z*  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ,wWl4)-eF  
YV``n(,  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A\b5p9"  
#Qj^FI  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (X 1dw#;A  
HZ2EN"I^!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] )U[>NXxqK  
[j9YtLH3O  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] W$PSF%T  
L}>8a/tpL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) X})g1r!R  
[CorB>U%(  
　　上述两式相比可得 EV< 6e"  
-}u#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R1W >5Yh  
Dcp 2C1+_5  
半角公式 l`0xJO;`  
zmtj)k*c  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); |#]-61uy+  
`/U #"  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. +#%A9u  
Y\6ju9  
和差化积 bLUys[lM  
9#X>i><  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }Lm 3(H9&  
`la(cL|  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LBq*H-l`c  
\ O:u Lf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d1( sCo`u  
^~%/3Gdtm  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  *|5X Xh(  
WflKLjT ;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) gJ_yh  
yfWGiW2Zs  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Vx  K]  
#8_XZD'v%  
积化和差 ao A+(~  
."Rg=IE  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] fLOD1#y  
76[ CEm_#  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B kk>8Db]Q  
PDZ%5')4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] me "#9E#  
. )faE  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] olhM9s/  
DF8c6z  
诱导公式 twu6y.3"  
%A9`_w[':  
　　sin(-α) = -sinα Dx&mg.iYR  
]B6`Pu4  
　　cos(-α) = cosα ^)He;Y^\D  
`rs/Z\  
　　sin(π/2-α) = cosα }e'spIo  
%fAJ:L[xr  
　　cos(π/2-α) = sinα BoHQ!i /h  
82;oL>suv  
　　sin(π/2+α) = cosα 8'L Zu  
}e[Hl*O S  
　　cos(π/2+α) = -sinα cNn6u@wN/  
j`L??^n 0  
　　sin(π-α) = sinα O#IMk+W?  
Y-~_n9*2  
　　cos(π-α) = -cosα vyN59^`Hl  
XEd<wLL  
　　sin(π+α) = -sinα DQyw.  E  
oDc7yM)H  
　　cos(π+α) = -cosα ^.wZh^  
khw& ZL  
　　tanA= sinA/cosA *W<SFvnO  
|ZZDkpXCh  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Uoc.;s<}R  
r2rE?G  
　　tan（π/2－α）＝cotα |SL[3<  
vOgV l /  
　　tan（π－α）＝－tanα ~ZCTVzkw  
32fF;|8HY6  
　　tan（π＋α）＝tanα ~l>JD5$&f#  
L]e%l=A]z  
万能公式 fnI  
d)1Q$}l8  
　　 j.b{w'YEEE  
8+y-1  
其它公式 iF0."!YZ  
_]D{VAVH  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ch{` OI  
C~jB&94g~  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?/ B c  
mgf;Ik %<  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4_E{SB7EiB  
h"/Ca]y\  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 AI6GrkM0  
E(gBE "@R  
　　对于任意非直角三角形,总有 z K4x!~  
'>_nx"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pHp$3@ h  
DF%T,U  
　　证: vbC/gR8OqB  
f}YldoN/  
　　A+B=π-C 0#Wu\]aJ~H  
;y$C[?E  
　　tan(A+B)=tan(π-C) cae*vIM  
{ U Q>@pU  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) r&p|= fm&S  
6}~>3%G/2e  
　　整理可得 q:J<]z.r:  
Y~znTKs+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC p{"!D=  
&*Jo-56S2  
　　得证 b$+`3^YQ  
cBpQG*{`c  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 QH Q!XD%hO  
(2K'Nq Z  
其他非重点三角函数 dfU;D"`zB  
779cL  
　　csc(a) = 1/sin(a) Wc2s\i7^  
\^&o Tr  
　　sec(a) = 1/cos(a) (QT,NV8G  
'u|"J1,6  
　　 {%P*k/j1u  
![pQ Vj|=  
双曲函数 f:^s/efly  
>(vh5 m8|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D; 05`(  
,} xaw  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 SZ~B5m:  
Qp6K9.!=~  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,]C-&TM  
ig" i  
　　公式一： 9}/6o  
6_[#g)xZ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )|u%I)t  
J</>}8~C  
　　sin（2kπ＋α）= sinα YtJe>r/7  
' vq'v"sPM  
　　cos（2kπ＋α）= cosα & >'[Kg  
pkvtC#y9  
　　tan（kπ＋α）= tanα h  Ok  
Ak9qSMk>,  
　　cot（kπ＋α）= cotα |3be(,pS8  
hDa=uv=3J  
　　公式二： -H:iKR   
g6-c a$;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *2m"WPPV  
<v692hlw  
　　sin（π＋α）= -sinα F*g^6q nXK  
+7#-ROj( p  
　　cos（π＋α）= -cosα U`[-OSwm  
j]2@(Y9  
　　tan（π＋α）= tanα YcbdKY~G!  
-~2!$#8  
　　cot（π＋α）= cotα O &zJV  
u?;V3oz  
　　公式三： -l-fcV0U  
daMi2*x`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： }Vu6e=@n  
iht&XXdJ  
　　sin（-α）= -sinα znp0cY  
1g5!EM^U  
　　cos（-α）= cosα V;r9Ubb6  
MjU;p\mw  
　　tan（-α）= -tanα A!l5S5 Hj  
J-S]H0G%)1  
　　cot（-α）= -cotα +4mXc  
/M 4m}"Op  
　　公式四： U?y:yI`  
k?<&iG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： T j-Vv0  
ODNd `'c  
　　sin（π-α）= sinα HaQ b`w%  
aT!I~+k  
　　cos（π-α）= -cosα ;=BEP$=z  
?WU.&t  
　　tan（π-α）= -tanα _<Bpq~  
n4HZx ph5E  
　　cot（π-α）= -cotα (^f6J~q  
GkNi>g  
　　公式五： wT >k@=^  
y3 >W  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0FzP }G  
a6~^;@@0  
　　sin（2π-α）= -sinα Ui2 n)  
]NI  
　　cos（2π-α）= cosα Vx m!K-&  
&hN4L@o"@V  
　　tan（2π-α）= -tanα |gTZcygtK  
1PUGMQ%  
　　cot（2π-α）= -cotα fdZ'K-@Ofw  
HNJ^Z b  
　　公式六： SCiSR {N  
n e&Tio  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： H[Y7XH  
z#CFCfT  
　　sin（π/2+α）= cosα -'u=.yl)$  
FN+(D#6n  
　　cos（π/2+α）= -sinα @`d"AOe  
^"eY;d33 i  
　　tan（π/2+α）= -cotα T*de'ssBB  
KM7VD >X y  
　　cot（π/2+α）= -tanα o0Z$8_t{C~  
Fqt!;rU  
　　sin（π/2-α）= cosα =X;Jh=[d  
r\ [N$ >Rt  
　　cos（π/2-α）= sinα hfo=[5  
ptWb PIv  
　　tan（π/2-α）= cotα q, ]{F<  
VX%>=Wt">x  
　　cot（π/2-α）= tanα S}$:I)  
@k!}"3J I  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 3!`XD }bj  
]K4 >3C(A  
　　cos（3π/2+α）= sinα `c9dQJh!  
UXANUSl@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #{9;5$~  
c2e$At3  
　　cot（3π/2+α）= -tanα aD`LJh9ae/  
C?$MmR;  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b\6] Ly  
521< oV0?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (# ]0S zg  
45 n:|l_B  
　　tan（3π/2-α）= cotα % G i [Tz  
] %cUoQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα PxO@]Od  
y_EIv?$  
　　(以上k∈Z) ~EcyPtL;Gs  
d_?S]hL+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Q ja\U>U[  
>1ZC ] 2"z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Tc_VK\!  
Y:~h.KpC?{  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 2wcP+{$:  
ab{"Ix  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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