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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 S]3m\DI  
b\8uaBHOg  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. |q< ~@.a  
-E]GxvQC  
　　1、三角函数本质： U?Wo48  
e _aq"!W,  
　　三角函数的本质来源于定义 qKrSiBW6,  
<~V3U  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 pv2id  
X\_oEUjp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /7jiGN^  
=gXHz,u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： XJs\f/;|(~  
mT8[9Fw  
　　推导： 4s$, O!  
*#p=L+y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 &d 75N.RC9  
H]`k3u1@)  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) X,FcL`kY,  
`+[q.6#Q.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) (P Kb V3!  
sgxTZ]2MM  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 k{f|AO  
X J`I]v  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） YnU]C\y  
,Rg{#PM  
　　[1] ! )$g2e;  
L1D>,y!,I  
　　两角和公式 wV#| fu  
TQ.[ V>i  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KqW5#%=  
I-@L|-QNY  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  gO t#O5g  
]v~;aDH  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB B>'.! Ue  
RO9Wxzx r  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB M'cb||o  
K% ?pgj4J:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f_m n00x  
@0P nB2f>w  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 968U; FU  
P 26}>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  6Mn?0xM>+  
}7\u0A  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~Z)5V'<  
?^m5X@hl  
倍角公式 4DS0K~0"  
Oj'|j#  
　　Sin2A=2SinA•CosA 60OZin1(G<  
|]C0oj3**  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 'v4gg[Pa#  
LfP GA,([  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） x}n%ds{joX  
: 2,S8PB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） cqVKe}  
=m|_Bc]yo`  
三倍角公式 [vi([e_  
,'i_?7mQ  
　　 h$5MTMX~C  
#`||t$i  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `-E8EQbu  
J|$,n8ZK N  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 2CL&mUqF  
]~8t' R"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }0g_<+6  
XL*o zb  
三倍角公式推导 +]rlSZ|1  
;pD$,3  
　　sin3a a!4@2 |p  
A|Hy~yD  
　　=sin(2a+a) h?`B `  
ABH4I9  
　　=sin2acosa+cos2asina mx?41# v&  
nVPmpA  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S"_<xuy"  
NU'{ K8b  
　　=3sina-4sin³a xBsf +=  
4B(T iJ  
　　cos3a &e<@neuBM+  
f.tA^!TG^~  
　　=cos(2a+a) {ZQz"+&yK  
hC+1Pebc  
　　=cos2acosa-sin2asina Z"6UM~5zG}  
0tM"nUQ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa L/6 D4`3  
t=>} <#z  
　　=4cos³a-3cosa cje?~wj)f  
?*PIRc_  
　　sin3a=3sina-4sin³a z{9xI+ n  
:Kb!So'/  
　　=4sina(3/4-sin²a) &z +?P  
n8+ITt(r  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `&Z l)fg  
]U&!M Pv+s  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) felr(-P)k  
h8 `qj)u|  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) :Z3GVx5Q  
})Fn`'H_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4O< euz  
WSm ql  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 36 HFcp]W  
B>(`=/KP  
　　cos3a=4cos³a-3cosa J@SFp{  
XF,e.Fef  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~27I)7yQ  
2>g@"HHH  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ["b9U6K'\  
hLN6V@J`m:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ].0YR}K)  
Cl3a*-b|  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ' 6|\7eMk  
GnK]h{ZE;6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ffN <U#rP  
9{ cp"!Z}Z  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @1|np5UE;>  
Uu $iy  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] FE\p"F  
9fQx-aI_Q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] c5Aa"3a#  
8E*NaycO  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) I$)[l  
\gApbV-BA  
　　上述两式相比可得 3++s<-)y  
:_RE5woD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3( )-[2Q  
wt r=,2|  
半角公式 rd+"3\# &"  
KI1z FzKj  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zSARt lT  
^'gj_,}.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. e be6-ZV  
q_^[I./  
和差化积 1[v@tpUMpe  
>BkYvs^DX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bnSz t4aj  
:+7Yb%4.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] i`M79$V P\  
h] ]v-A,  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l`Efdz?W0  
dN8oNtx   
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ` '`rS$ro  
yh[o2'e0!  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Joe_5"/  
'}#!D  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .EEWrDK{J  
Yt5t  
积化和差 QB<1j8/.  
& Uip} 6v  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5T.Akw1Zk  
5_IC8Xc?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] tXtVUIuP  
`iQN  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] TZT56.i  
gV85>IG  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `j<uZnb4  
#A3L  
诱导公式 Ye'x4Zt  
w7-O ^?  
　　sin(-α) = -sinα N@3@6]/f]  
^&6Wr({  
　　cos(-α) = cosα rI.OKWKdG  
# !u_<%J  
　　sin(π/2-α) = cosα E}ys1QWR  
>#N'[spl2  
　　cos(π/2-α) = sinα |!cVq  
8/6~Vs^z  
　　sin(π/2+α) = cosα nqhK_  
g1-PmE-Y  
　　cos(π/2+α) = -sinα {W"8mW  
< c$mosj_*  
　　sin(π-α) = sinα :o)&sZ\  
V=j5kf\>  
　　cos(π-α) = -cosα 8)+hk!=#  
=sQ\4q   
　　sin(π+α) = -sinα @4._}p9  
=>C|cT,  
　　cos(π+α) = -cosα K)@yy M!  
#3Jq5$m  
　　tanA= sinA/cosA uELncZ  
IoX}"Y  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Uewc;+b>9  
<j{?`*D&h  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9 9@W+JB  
EM,Pj.<Y!  
　　tan（π－α）＝－tanα Xz}G/Xd  
)#b 2Ur  
　　tan（π＋α）＝tanα E/cK4D1  
=bDGS7lb  
万能公式 FBHE^ny31  
Iv)'b >_%d  
　　 8-a=agd&e4  
J x?0l6\  
其它公式 TC|M`T`  
<0h7QO?{}  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5exwR&cFu  
Og^r(^'FS  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 r"AgU 6jSE  
G/z~uU<{  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 !Y*H5a  
\qYB,EmD$  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 "x={B9t 1h  
%2_|6!s%  
　　对于任意非直角三角形,总有 s6mv }F,  
YOA//.>Wk  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6YFuU(c9X-  
FbYqp  
　　证: lwY`O   
Ll:*.Z3 {  
　　A+B=π-C j&\Gx<,\  
5*2*D)c2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) {Jwq .^e0/  
nz V }_o@~  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \y?):q  
*a>G>Z6w$  
　　整理可得 3sj <<&5  
j7, 0N1 s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _$#(k9VY  
Ui[,A$+  
　　得证 ovm=1 k  
mK19n FH  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \C~UeiH  
nlA`FdG I  
其他非重点三角函数 gu@CE"sKV  
eH5+QN^1)  
　　csc(a) = 1/sin(a) "\_r;jA  
w 0^-]Hib0  
　　sec(a) = 1/cos(a) VZ U3r  
YRKO1t&  
　　 IH$7o]  
^ZNUf#f  
双曲函数 6a9,U@uy  
>ns_/G)kC  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6]7-Sb  
2 ,\yD-$0  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 k#,(V<,E  
P}n4V_\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wG [2U-of  
.I5 6hEB  
　　公式一： kd X~AR@  
(DX:C/DZQ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： PO&D# ~r.?  
}Z"a#<1Q"  
　　sin（2kπ＋α）= sinα tv}yC^}81:  
IoQTH'b  
　　cos（2kπ＋α）= cosα X?r$V @  
Ii G  
　　tan（kπ＋α）= tanα {I_zC]Y&  
Q ICn>>H  
　　cot（kπ＋α）= cotα tFAY=B>k  
PZlu XpRV  
　　公式二： GH=Gj Z*U  
][Bl0}ND  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： <`l=2jD$  
>P2]Qhv6  
　　sin（π＋α）= -sinα 1fU745DdJ  
N) VDVPx  
　　cos（π＋α）= -cosα ts))81O_  
^ =w '3nB  
　　tan（π＋α）= tanα m~1 U i  
A }t^5X  
　　cot（π＋α）= cotα ~E>kN&  
t<!"R )  
　　公式三： Wstp`%|4}"  
e@BW0`PU  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;bBP4Yp\IT  
t{m5|76 FY  
　　sin（-α）= -sinα 2h\R8bo2  
W4# 0M0Wq;  
　　cos（-α）= cosα ]jUa\^]6  
DiI0X9G\  
　　tan（-α）= -tanα _</*#P8  
K%+ g  
　　cot（-α）= -cotα ~adL8^e  
X }JU  
　　公式四： /Y7\Tl[p"  
,"M}mT[  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6ai (/{  
3[B1tmut  
　　sin（π-α）= sinα F2` _Wi&  
xhJ9M6>  
　　cos（π-α）= -cosα ?Cf+efz^  
:^c`lK  
　　tan（π-α）= -tanα I*ofD[  
j'M57q5  
　　cot（π-α）= -cotα ^ ]Fl0 P  
^0Ku^:]5~  
　　公式五： x/GUHo  
'4pU"}Z  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： X6:d!1*PI  
KY(^O.L  
　　sin（2π-α）= -sinα =QrT'ux  
9Na++(NGj^  
　　cos（2π-α）= cosα z( z7-BR  
71~l<(CU-  
　　tan（2π-α）= -tanα "J.oxn=kua  
a'^9l!(X-  
　　cot（2π-α）= -cotα :rBX>o  
3,lX&8X  
　　公式六： ;|HocmT  
Vn,a ` @  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 0:T>2dhc  
ZL%60Wb5  
　　sin（π/2+α）= cosα RY/jK"au  
x <2'oVr  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0/V6,#J  
rd^ ioMx  
　　tan（π/2+α）= -cotα heX])M ,j  
G 95sFP0s  
　　cot（π/2+α）= -tanα <qXKs\A{  
'MzzKUX9[Z  
　　sin（π/2-α）= cosα jC J*j#  
Z`4?jz6[  
　　cos（π/2-α）= sinα GHWhpeF  
Ma 5 $oa-  
　　tan（π/2-α）= cotα jN(UJB~O1  
NK>E'4..U  
　　cot（π/2-α）= tanα VhN&@Z6  
gUld<7$  
　　sin（3π/2+α）= -cosα !OIt1o(  
Mc]n5y  
　　cos（3π/2+α）= sinα 6dwB{Zj  
vT~*r  
　　tan（3π/2+α）= -cotα vG<6(y3u  
I9s3m)pG+G  
　　cot（3π/2+α）= -tanα S}1Md@E[  
t!A3r0A680  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Y #^lVa:a  
%fSVKRpB  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 1 P I>z  
l6@cl  
　　tan（3π/2-α）= cotα _QK2qTwy!O  
U(0L"Swj*  
　　cot（3π/2-α）= tanα Y*4EP~t  
Lli ^   
　　(以上k∈Z) XQ*!*r?$  
\[\Ew~>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D D6QV~$  
G7N[bKA  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ,u7H32  
:fgA70[B  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } <d;d6*R  
5@.Dy{ J  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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